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1992年東大文系数学背景【引用】

月刊大学への数学;学力コンテスト

ここから引用(俺の書いた記事ではない）〜


　ｘについての方程式　px^2＋(p^2−q)xー（2p−q-1）＝0
　が解をもち，すべての解の実部が負となるような実数の組（p,q）の
　範囲をpq平面上に図示せよ．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（’９２　東大・文系）


やはり解くだけなら簡単である．
まず，ｐが０のときは２次方程式でないので別に考えて（←このときのことを考慮して，問題文ではわざわざ「・・・が解をもち」などという言い回しをしている．こういう点にぱっと気づかないような気のきかない奴は会社でも出世しない気がする．）

それ以外の場合は両辺をｐで割って
　　　　　　　　　　　　　ｘ^2＋Ａｘ＋Ｂ＝０
の形にして考えることにしよう．このとき，２つの解の実部がともに負であるならば，
「２つの解の和の実部」＝「２つの解の和」は明らかに負である必要があり，
逆にこのとき，２つの解の積が負ならば正と負の解，２つの解の積が０なら解として０を含み，
２つの解の積が正ならば２回は負と負または虚部が負の２つの虚数解となるから，求める条件は
　　　　　　　　　　　　Ａ＞０　かつ　Ｂ＞０
となるわけである．
（東京出版の「大学への数学」他多くの受験参考書では，実数条件をつかって場合分けしているが，
本問において解が実数かどうかで場合分けして考えるのは得策ではない．上の解答と比べてみるとよいであろう．）
さて，「こんな問題を解いて何の意味があるのだろう？」と考えるところから「数学」は始まるというのはこの前に書いた通りである．

私自身はこの問題は見た瞬間に１秒もせずに解法の方針が浮かんだ．それは，日頃からよく使っていたからである．
一見単なるつまらない計算問題に見える問題でも，その背後には重要な理論が隠れていることが多く，
それを見つけるのが数学者，自然科学者の仕事なのである．それでは，本問の本質とは何か？
それは「システムの安定性」である．自然科学では，考えている対象をモデル化して考えるのが古典的な常套手段になっている．
そして，医学などでは多くの現象を，それと同じ価値の「等価回路」になおして考えることが多い．
たとえば，生物学などで細胞膜における物質の透過性などは等価回路を使って考えることが多い．
本問のテーマは，２階微分方程式で表されるシステム（＝２次システム）がどのような時に安定なのかということである．
最も簡単な２次システムの例をかいておくと，高校の物理などでもでてくる直列につながれたＲＬＣ回路などがそうである．
自己インダクタンスをＬ，コンデンサーのキャパをＣ，抵抗値をＲとすると，コンデンサーの片方の電圧をｖとすることによって，
準定常電流（←実は，理論的には，準定常電流とか準静的過程とは何か？を考える方が面白いと私などは思うが．．．）
という仮定の下でキルヒホッホの法則（←工学系では鳳ナブテンとかいったっけ？勉強したのがもう２０年くらい前なので忘れてしまったが．．．）
を使えば，普通の高校生でも知っている

　　　　ＬＣ（ｄ^２ｖ／ｄｔ^２）＋ＲＣ（ｄｖ／ｄｔ）＋ｖ＝０
という２階線形微分方程式をえる．ここで，ｖ＝Ａｅ^ｋｔ（ｋは複素数の定数）がこの微分方程式の解であると考えると，ｋのみたすべき方程式が
　　　　　　　　　　　　ＬＣｋ^２＋ＲＣｋ＋１＝０
となる．この固有振動Ａｅ^ｋｔ（Ａが０でない定数としておく）が時間とともに減衰していくことをシステムが安定であるという．
そしてその条件がｋの実部が負になることなのである．たとえば，心臓のペースメーカに流れる電流が不安定だったりすると大変なことになってしまう．
橋をつくるときに，橋を伝わる波が橋の端っこで反射して定常波になってエネルギーが橋にたまってしまうような橋も不安定である．
そうではないという条件を考える問題であったわけだ．

数式というのは詩と同じで，何も知らない人間にはその数式も詩の中の一節も何も語りかけてくれない．
しかし，いろいろな数学的現象に出会い，それを大切にした人間にだけ，そっと語りかけてくれるときがある．
詩を内容のない単なる文字列ととらえることもできるし，数式をつまらない計算の道具と考えることはできるが，
私はそういう考えはしていない．誰にでも見えるものよりも，自分にしか見えないものの中にこそ，
最も大きな価値があるような気がするのだ．そして，それを１度経験しまうと，
俗世の喜びでは決して満足できない人間になるという例を私は数限りなく見てきた．
よく，「数学なんて何が楽しいんですか？」と言われる．正直，私自身もどきどきは思うこともある．
しかし，他の多くの，そして，おそらくは他のすべての喜びよりも，より豊かなものがそこにはあるような気がすることも多い．
俗世よりももっと魅力的なものがいっぱいあるのが数学の世界だ．何も「聖人君主」が学問をやるわけではない．
もっと魅惑的な世界が広がっているから学問をやるというのが本当の姿なのである．私は「解ければいい」．
「合格すればいい」という生徒や父兄を多く見てきた．彼らは「別に数学者になるわけではないから」という．
しかし，それは正しい理由ではないと思う．おそらくは，本当の数学の美しさや楽しさを知らないからではないだろうか？
たとえば，東大や京大の数学科の先生などには，模擬試験で１番をとってきた人が何人もいる．
医学部に行こうと思えばいけたであろうし，その才能をもっと別のところにいかせば大金持ちになったかもしれない
そして，世間ではきびしい数学の世界を選び，わざわざあまりお金のないような生活をする人間を「変わりもの」というが，
私から見れば何も変わっていないのだ．普通の人間だからこそ，大きな喜びから逃れられなくなっただけである．
数学からきこえてくる「言葉」がきこえたことがない人にどんなことを言ってもわからないのは，
サッカーの楽しさがわからない人間（＝たとえば，私）にサッカーの楽しさを教える以上に難しいからこれ以上は書かないが，
数学をやる人間について世間の風評というか感想には「？」と思うようなことばかりなのでちょっと書いてみた次第である．
数学の専門家が数学を好きなのは，世間の人が「金」や「権力」や「異性」にひかれるのと何の違いもない．
そして，それら以上の喜びを「数学」は与えてくれると感じているからやめられないだけなのだ．
実際に，私の場合も，100億円もっている人がすることを見ていても，「ああ，こんなことか」としか思わないが，
私などがどんなに頑張っても構築することのできないであろう理論を美しく展開する人の論文を見ると，私の場合は，天上界を見ているような気がするのである．


〜ここまで引用

引用元
http://web.archive.org/web/20070112231214/http://www16.ocn.ne.jp/~suuri/diary/diary2006-06.htm

こういう単純な問題にも深い意義があるとは。

月刊大学への数学5月号学力コンテスト感想

月刊大学への数学;学力コンテスト

学コン5月号を解き終えた。今月こそ150点満点を取りたい。

感想
大問1(場合の数):難易度B〜C
数え上げる順序によって、難易度が変わる。

大問2(図形):難易度B
誘導をつければセンター試験で目にしそうな題材。

大問3(座標):難易度B
立式したとき、これは本当に解けるのか不安になったが、計算を進めていくと一気に消えて楽になった。
整った答えになって安心。

大問4(極限):難易度B
設問(1)と全く同じ要領で(2)も解けてしまった。これって良いんだろうか？

大問5(微分):難易度C(計算が重い)
愚直に計算するだけ。計算ミスはないと思うが、やや不安。

大問6(整数):難易度C
整数問題に素数が出たらやることは毎回決まっている気がする。

英単語増量計画は今のところ+445語まで達成している。
出来れば5月中旬あたりに+1000語を達成したいから晩御飯後に英単語暗記を開始する。

月刊大学への数学4月号;学力コンテスト返却

月刊大学への数学;学力コンテスト

学コンを偽名で提出したせいで、色々とトラブルがあってやっと今日になって自宅に返却された。
郵便局「この名前の人は貴方の家には住んでいないはずなので、荷物は送りません」→事情を説明する→少しの時間を経て今日届く

点数:130/150点
パーセント:86.6%
東大換算:104/120
京大換算:217/250
名大換算:433/500






大問1は、マイナスをつけるのを何故か忘れていた。

大問2は、問題なし。
ちょっと気を使ったポイントがあって、3で割った余りを考えるのは典型的方法でまあいいとして、そうすると1,2,3,4,5,6,7,8,9→1,2,0,1,2,0,1,2,0と変換されるが、このときそれぞれの[0,0,0][1,1,1,][2,2,2]は同じ数字であるが、本当は区別できる！（0,0,0=3,6,9)ということを念頭に置いたうえで、[0_A,0_B,0_C]などとして気を使った。

大問3は下のほうが途切れてしまったが、採点者に何と書かれているかというと
「y=422/59も解で出てきます。吟味する必要があります。-5点」
とあった。
よくこんな細かい所まで見てるなー…
というか余弦定理を6回も使って力づくで解いたせいで「着眼:B」になっている（笑）

大問4は一応満点をとれているが、対称性を利用せずに解いたせいで処理が複雑になっている。

大問5の平均点は、Bコースの人たちで25点満点中12点だからかなり低い数字。
俺も大問5で12点減点されて13点になっているから、大体の人は俺と同じ間違いをしているのだろう。
処理が重かったが、なんとか正しい値は出せている。

大問6は、採点者のコメントにある通り、試行錯誤の問題だから時間さえあれば必ず解ける。

学力コンテストは時間無制限で、ジュースを飲みながらでも音楽を聴きながらでも、リラックスして思う存分納得いくまで時間を自由に費やすことができるから、それにも関わらず満点未満なのは基礎がぐらついている証拠。
まぁ今年の課題である確率の問題を、ちゃんと解けたのは良かったと思う。

5月の学習は、英語7割　古文2割　物理の波動5分　確率4分　その他1分の配分になる予定。
ニュースリスニングの音読を繰り返したおかげで、さっき英検サイトからリスニングの過去問を聞いてみたが、以前よりはっきりと何を言っているのか分かった。
去年の英検準1級は、確か語彙が20/25で、英作が0点（書き忘れ）、長文がちょいミスでリスニングがやや悪くて、合計60点ちょうどだったと思う。
語彙が20点取れたのは、正直運が良かったのもある。試験を受ける前の演習では15~20点以内に収まっていたから、運良く最大値を引けた。
今回の英検は、たぶん合格確率70%程度と予想。

大数４月号

月刊大学への数学;学力コンテスト

1~6まで解けたから3/29日にBコースで提出した。
もし6月号の月刊大数に、「数2Bで50点しか取れなかったのは大数をやらなかったバチがあたったんだ」的なコメントがあったらそれは俺だ。

提出締切日は4月9日ぐらいまでだから詳細なことは書いてはいけないが、大雑把な感想としては

大問1:発想A　計算A
感想:学コンなのにこういう問題があるって意外だなー。

大問2:発想B　計算B
感想:抽象的に考えすぎるとケアレスミスするであろうポイントがある。
実際に具体的な例を書きだす人は、こういう類のミスはしないだろうな。

大問3:発想B　計算B(幾何)/C(下手な解法)
感想:下手な解法で解いた。後から簡単に解ける解法を思いついたが、いちいち消して書き直す
のは面倒だからそのまま提出。別に点数自体は変わらないだろうし…。

大問4:発想B　計算C
感想:誰でも解法はわかるけど、処理がやや面倒。

大問5:発想B　計算C+
感想:計算がかなり重い。まぁ他にも方法があるのかもしれないが、正攻法でいくと面倒。
これを20分以内でミスなく解けるような人はかなり強者だと思う。
俺は何度も計算ミスがないか確認した。

大問6:発想C　計算C
(1)から詰まるポイントがある。それをクリアできれば後は簡単なのだが…。
一応、一対一対応の演習にもちゃんと書かれているポイントだから、一対一が身についていれば分かるはず。


いまノート何ページ使ったか数えてみたら37ページも使ってた。

京大＜学コン＝東大ぐらいか？
ついでに最近、気分転換に公園で懸垂をしている。やっぱ筋力落ちてたなー